Kumpulan Soal Persamaaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak

  Nilai Mutlak

1. Tentukanlah nilai x yang memenuhi persamaan nilai mutlak berikut.

• |(3x-5)/4x-7| = 5
• |2x-9|= x-3
• |x-1|² - |2x-2| - 3 = 0
• Buatkanlah sifat-sifat persamaan nilai mutlak

2. Tentukanlah Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan nilai mutlak berikut.

• |(x-6)/3x-9| ≤ 2
• |(2x - 9)/6 |≥ x
• |x-1|² - |x+3| - 2 < 0
• Sifat-sifat dari Pertidaksamaan Nilai Mutlak

1. Himpunan penyelesaian dari persamaan mutlak: |x+4|=1 adalah ....

2. Himpunan penyelesaian dari persamaan mutlak: |x+2|=|2x-1| adalah ....

3. Himpunan penyelesaian dari persamaan mutlak: |x-3|=2x adalah ....

4. Jika x_1 dan x_2 adalah penyelesaian dari: |4x-1|=|3x+5|dengan x_1 < x_2, nilai dari x_1 - x_2              adalah ....

5. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan mutlak: |x-3|≤1 adalah ...

6. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan mutlak: |3x+1|>7 adalah ....

7. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan mutlak: |2x-1|≥|3x-7| adalah ...

8. Nilai x yang memenuhi persamaan | x + 2 |= -3  adalah…

9. Nilai dari | 112 - 122 | x | 42 – 52 | = …

10. Nilai dari | 4 - 6 | - | 12 - 5 | = …

11. Nilai x yang memenuhi persamaa | x + 2 | = 3 adalah x1 dan x2 . nilai dari x1 + x2 adalah…

12. Penyelesaian dari persamaan nilai mutlak | x - 1 | = 2x + 1 adalah…

13. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan nilai mutlak | 2x - 5 | ˂ 3 adalah . . .

14. Nilai x yang memenuhi | x +  1/2 |  ≥  5/2 adalah…

15. Penerapan Nilai Mutlak dalam Kehidupan Sehari-hari

16. Tentukan HP dari 2|2x+4|-9<3

17. Tentukan HP dari |3x-1|=|x+7|

18. Nilai – nilai x yang memenuhi |x+3| ≤ |2x| adalah…

19. Pertaksamaan |(2x-1)/(x+5)| ≤ 3 mempunyai penyelesaian

20. Tentukanlah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan |5- x/2|≥ 9

Read More

Cara Mengitung Bunga

 1. Bunga Flat

Menghitung bunga flat bisa dibilang paling mudah dan sederhana.Bahkan, bunga flat sendiri sering ditemui di berbagai brosur penyedia pinjaman kredit.

Contohnya, brosur penawaran Kredit Tanpa Agunan (KTA), atau kredit kendaraan bermotor, yang menginformasikan berapa besaran angsuran per bulan hingga akhir masa pinjaman. Pada tipe kredit ini nilai bunga beserta plafon akan dihitung secara seimbang sesuai dengan tenor pinjaman atau jangka waktu.

Budi mengajukan kredit tanpa agunan sebesar Rp240 juta dengan jangka waktu pelunasan 12 bulan dan akan dibebankan bunga pinjaman sebesar 10% setiap tahunnya.

Inilah angsuran yang harus dibayar oleh Tuan A setiap bulannya.

Jumlah pinjaman: Rp240 juta

Bunga per tahun: 10%

Jangka waktu: 12 bulan

Jumlah Angsuran yang dibayarkan tiap bulan: Rp240 juta/12 bulan = Rp20 juta/bulan

Perhitungan Bunga flat:

(Rp240 juta X 10%) : 12 bulan = Rp 2 juta

Angsuran setiap bulan yang sudah ditambah bunga:

Rp20 juta + Rp2 juta = Rp 22 juta

Berdasarkan perhitungan di atas, maka setiap bulannya Budi harus membayar angsuran sebesar Rp22 juta.

Dikarenakan perhitungannya memakai bunga flat, maka nilai angsuran tak akan mengalami perubahan atau bisa dibilang tetap setiap bulannya.

2. Bunga Efektif

Perhitungan bunga ini memiliki karakteristik, semakin lama jumlah angsuran akan semakin sedikit. Di mana, angsuran akan dihitung sesuai sisa jumlah total pinjaman.

Sistem perhitungan bunga ini, umumnya digunakan untuk kredit jangka panjang seperti kredit investasi atau KPR. Tentu saja seiring berjalannya waktu, beban bunga yang harus dibayarkan akan semakin berkurang nilainya dan lebih kecil bila dibandingkan perhitungan bunga flat.

Contoh Kasus

Bromo mengajukan pinjaman sejumlah Rp240 juta, dengan bunga efektif 10% per tahun dan jangka waktu selama 24 bulan atau 2 tahun.

Cara menghitung bunga pinjaman, dengan rumus: SP . i . (30/360)

SP: saldo pokok pinjaman dari bulan sebelumnya

i: suku bunga setiap tahunnya

30: jumlah hari dalam satu bulan

360: jumlah hari dalam setahun

Saldo pokok pinjaman: Rp240 juta

Suku Bunga efektif: 10% per tahun

Jangka waktu kredit: 24 bulan

Angsuran bulan 1:

Jumlah angsuran: Rp240 juta / 24 bulan = Rp10 juta

Perhitungan bunga: Rp240 juta X 10% X (30 hari/360 hari)

= Rp2 juta

Angsuran pokok ditambah bunga pada bulan 1 = Rp10 juta + Rp2 juta = Rp12 juta.

Angsuran bulan 2:

Dikarenakan sudah membayar angsuran di bulan 1, maka saldo pokok pinjaman akan dikurangi sebesar biaya yang sebelumnya dibayarkan. Dalam kasus ini Rp10 juta.

Maka perhitungan bunganya adalah: Rp230 juta X 10% X (30 hari/360 hari)

= Rp 1,191,666.67

Perhitungan Suku Bunga Anuitas

Perhitungan suku bunga anuitas adalah sebuah bentuk modifikasi dari perhitungan bunga pinjaman efektif. Hal tersebut bertujuan untuk memudahkan para nasabah dalam membayar cicilan tiap bulannya.

Perhitungan bunga pinjaman ini menentukan besaran cicilan tiap bulan dengan jumlah yang sama namun komposisi bunga dan pokok cicilannya akan berubah-ubah setiap periodenya.

Nilai bunga perbulan akan berkurang namun cicilan pokoknya akan membesar. Perhitungan bunga ini membuat porsi di masa awal pinjaman menjadi sangat besar namun lambat laun akan mengecil di masa akhir pinjaman.

Rumus Perhitungannya:

Bunga = SP . i . (30 / 360)

Keterangan:

SP = saldo pokok pinjaman bulan sebelumnya

i = suku bunga pertahun

30 = jumlah hari dalam sebulan

360 = jumlah hari dalam setahun

Read More

Algoritma Euclide dan Persamaan linear Diophantine

  1. Sifat habis dibagi pada bilangan bulat

    Secara umum suatu bilangan yang dapat dibagi dapat dinyatakan kedalam bentuk.

    untuk sebarang a dan b, bilangan bulat dengan a ≠ 0, maka terdapat m dan n, bilangan bulat yang tunggal sedemikian sehingga b dapat dinyatakan sebagai 

b = (a*m) + n atau b = am + n, dengan 0 ≤ n < │a│

a, kemudian disebut sebagai pembagi, m disebut hasil bagi dan n disebut sebagai sisa hasil bagi. pernyataan b = am + n, biasanya disebut juga sebagai algoritma pembagian. untuk kasus n = 0, maka b dikatakan habis dibagi oleh a. Akibat dari pernyataan tersebut muncul suatu definisi yaitu.

Suatu bilangan bulat b dikatakan habis dibagi oleh suatu bilangan bulat tidak nol, jika ada suatu bilangan bulat m sedemikian sehingga b = am. atau dapat dituliskan sebagai a │ b (dibaca a habis membagi b)

Sifat-Sifat pada hasil bagi.

• jika a│b maka a│bc untuk sembarang c bilangan bulat
• jika a│b dan b│c maka a│c
• jika a│b dan a│c maka a│bx + cy untuk x dan y, sembarang bilangan bulat.
• jika a│b dan b│a maka a = ±b
• jika a│b dan b ≠ 0 maka │a│ ≤ │b│

2. Algoritma Euclide

    Defenisi

    Diberikan dua bilangan bulat a dan b dengan a > b > 0 maka FPB(a,b) dapat dicari dengan mengulang algoritma pembagian

Contoh :

Tentukan FPB (4840,1512)

Penyelesaian.

4840 = 1512 * 3 + 304

1512 = 304 * 4 + 296

304 = 296 * 1  + 8

296 = 8 * 37 + 0

maka kta peroleh  FPB (4840,1512) = 8

Akibat dari teorema Algoritma Euchlide yaitu untuk setiap FPB(a,b) maka terdapat bilangan bulat  x dan y sehingga FPB(a,b) = ax + by.

sehingga dari contoh diatas dapat dinyakan sebagai berikut.

8 = 304 - 296

    = 304 - [1512 - (304 * 4)]

    = (304 * 5) - 1512

    = [(4840 - 1512*3)*5 -1512

    = 4840 * 5 - 1512 * 16

jadi nilai x = 5 dan y = 16

Akibat Selanjutnya dari teorema algoritma euclide yaitu Persamaan linear diophantine.

3. Persamaan linear Diophantine

Teorema

Suatu Persamaan linear diophantine ax + by = c dengan a, b dan c bilangan bulat mempunyai penyelesaian bilangan bulat, jika dan hanya jika FPB(a,b) membagi habis c.

Contoh

Tentukan penyelesaian umum persamaan diophantine 754x + 221y = 13

Penyelesaian

Dengan menggunakan algoritma euclid diperoleh FPB(754,221) = 13, karena 13│13, akibatnya persamaan diatas mempunyai penyelesaian bilangan bulat.

kita akan mencari nilai dari m dan n sehingga 

13 = m * 754  + n * 221    Karena

13 = 5 *754  -  17 * 221 maka m = 5 dan n = -17 jadi penyelesaian umumny adalah.

x = 5 + (221/13) k = 5 + 17 k

y = -17 + (754/13) k = -17 - 58k

dengan k sembarang bilangan bulat.

Read More

Pembahasan Soal OSK Matematika dan Komputer

  1. Jika A679B adalah bilangan yang habis dibagi 72 tentukanlah nilai dari A dan B.

    Penyelesaian

    Perhatikan Bahwa 72 = 8 .9 karena 72 | A679B, maka 9 | A679B dan 8 | A679B Sehingga dari bentuk ini dapat disimpulkan bahwa :

Agar A679B habis dibagi 8, maka haruslah 790 + B habis dibagi 8. sehingga diperoleh Nilai B adalah 2. Jadi bilangan A679B sekarang adalah A6792.

Kemudian A6792 habis dibagi oleh 9 maka haruslah A + 6 + 7 + 9 + 2 juga harus habis dibagi oleh 9, sehingga kita peroleh nilai A yang mungkin adalah 3.

Jadi, A = 3 dan B = 2, Sehingga A679B = 36792

2. Tentukan Banyaknya pembagi positif dari 2010

    Penyelesaian

untuk bentuk soal yang seperti sebaiknya pengerjaannya langsung dicoba secara manual dimana hanya ada bilangan positif dikali positif yang menghasilkan bilangan positif jika harus pembagi positif

      2010         = 1 . 2010

                       =  2 . 1005

                       = 3 . 670

                      =  5 . 402

                      = 6  .  335

                      = 15 . 134

                      = 10 . 201

                      = 30 . 67

Jadi ada 16 Buah pembagi positif dari 2010

3. Misalkan n adalah bilangan asli. Buktikan bahwa n^3 + 5n habis dibagi oleh 6

    Penyelesaian

    n^3 + 5n = n^3 - n + 6n

                    = n (n^2-1) + 6n

                    = n (n-1) (n+1) + 6n

                    = (n - 1 ) n (n + 1 ) +  6n

            karena (n - 1 ) n (n + 1 ) merupakan ciri dari tiga bilangan asli berurutan maka 

6 | (n - 1 ) n (n + 1 ) Selain itu 6 | 6n Sehingga dari bentuk tersebut dapat dinyatakan nahwa n^3 + 5n habis dibagi oleh 6

4. Untuk pejabat pengelola suatu kelas, memerlukan 3 pengurus, yaitu ketua kelas, sekretaris dan bendahara. Tersedia 7 calon. Banyaknya macam susunan pengurus kelas yang mungkin adalah.

    Penyelesaian

    Karena akan dipilih 3 orang untuk menjadi pengurus kelas dari 7 orang calon serta urutanya diperhatikan (Ketua, Sekretaris dan Bendahara), maka ini merupakan masalah permutasi 3 unsur dari 7 unsur, yakni :

P (7,3) = 7!/ (7-3)! = 7!/4! = 7.6.5 = 210

Jadi banyaknya macam susunan pengurus yang mungkin adalah 210 susunan..

Untuk Soal-Soal Beikutnya Ditunggu yah....

Read More

Peluang

  Peluang merupakan kemungkinan terjadinya sautu kejadian, yang besarnya antara 0 dan 1, Untuk suatu peluang kejadian yang sudah pasti terjadi memiliki nilai 1, misalnya matahari terbit dari timur. Peluang dengan nilai Nol yaitu peluang yang tidak mungkin terjadi, Tuhan itu ada banyak.

1. Kaidah Pencacahan

• Faktorial

            n! = n x (n-1) x (n-2) x (n-3) x . . . x 3 x 2 x 1 

            Dimana n! = perkalian n bilangan Asli

            0! = 1

            1! = 1

• Permutasi

            Permutasi merupakan suatu penyusunan unsur-unsur sejumlah n yang tiap kali diambil sejumlah k dengan memperhatikan urutanya.

• Permutasi dengan unsur yang sama

               Jika Pada sejumlah n unsur yang ada terdapat tepat a unsur yang sama, b unsur yang sama dan seterusnya, kalian bisa menghitung banyak permutasi dari n unsur tersebut dengan menggunakan rumus:

• Permutasi Siklis

            Merupakan permutasi dimana objeknya disusun dalam bentuk lingkaran

• Kombinasi

            Adalah susunan unsur-unsur yang urutanya tidak terlalu diperhatikan. Kombinasi dapat dinyatakan dengan rumus :

• Binomial Newton

2. Peluang Suatu Kejadian

• Percobaaan dan Peluang suatu kejadian
• Frekuensi Harapan

3. Kejadian Majemuk

• Peluang Komplemen suatu kejadian
• Peluang kejadian saling lepas
• Peluang kejadian saling lepas

Read More